Das Teilschrittverfahren ist für leistungsschwächere Schüler im 1. Schuljahr kaum zu meistern. Hier wird deshalb ein auch für leistungsschwächere Schüler gut zu handhabendes alternatives Vorgehen aufgezeigt.

Zählendes Rechnen wird oft zu Unrecht pauschal verteufelt. Mathematisch gesehen spricht nichts gegen zählendes Rechnen. Wer allerdings eine Aufgabe wie 2 + 16 dadurch löst, dass er von der 2 ausgehend 16 Schritte weiterzählt, wird keine guten Rechenfertigkeiten entwickeln. Hier sind passende Rechenstrategien gefragt. Solange man aber nur bis zu 3 addiert oder subtrahiert, kann man effizient zählend rechnen. Die Kinder tun das anfangs ohnehin, und wenn man das offiziell den Kindern beibringt, kann man das Problem ausräumen, dass manche rechenschwache Kinder fehlerhaft zählend rechnen und dadurch im Ergebnis um 1 von der richtigen Lösung abweichen. Früher oder später werden diese zählend bewerkstelligten Aufgaben auswendig beherrscht. Es zeigt sich, dass man beim Addieren und Subtrahieren/Ergänzen jeweils zusätzlich zum zählenden Rechnen mit einer einfach zu verinnerlichenden Rechenstrategie auskommt.

Eine vorteilhafte Darstellung unseres dezimalen Stellenwertsystems besteht darin, eine Zahl wie 42 als die Zerlegung in 40 und 2 aufzufassen. Das ist genau das, was das Zahlwort ‚zweiundvierzig‘, d.h. ‚2 und 40‘, ausdrückt. Vor allem werden derartige Zerlegungen von einem Großteil der in der Grundschulzeit vermittelten Rechentechniken genutzt. Die Zahlenkartendarstellung bildet wie das Zahlwortsystem das Dezimalsystem direkt ab und kann deshalb bereits im 1. Schuljahr genutzt werden. Die alternative (und übliche) Darstellung des Dezimalsystems über Bündelungen ist komplexer und wird deshalb erst am Anfang des 2. Schuljahrs vermittelt. Die erhöhte Komplexität ist auch eine zumindest kleine Hürde für leistungsschwache Kinder. Die Bündelungsdarstellung führt zudem zum ziffernweisen Verständnis der Zahlsymbole. Das ist insofern ungünstig, als es das ziffernweise Rechnen begünstigt mit seinen Fehlermöglichkeiten etwa bei der Subtraktion zweistelliger Zahlen. Es begünstigt auch Zahlendreher, weil eine Zahl wie 42 als Ziffernfolge 4, 2 aufgefasst wird. Wir haben heute viele Kinder mit vorschulischen Defiziten, insbesondere mit Raumlage-Wahrnehmungs-Störungen. Solchen Kinder fällt es schwer, die richtige Reihenfolge der Ziffernfolge einzuhalten. Mit der Dezimalzerlegung der Zahlenkarten kann auf eine Erklärung des Dezimalsystems über Bündelungen verzichtet werden. Ziffernweises Rechnen wird damit genauso wenig begünstigt wie Zahlendreher, da die Zahlsymbolik sich nicht als Ziffernfolge versteht. Es bietet sich daher an, die Dezimal-Zerlegungen in den Fokus zu nehmen. Das ideale Veranschaulichungsmedium hierfür sind die Montessori-Zahlenkarten, die man leicht selbst herstellen kann. Die beigefügten Dateien Zahlenkarten.pdf und Zahlenkarten.docx (ermöglicht Änderungen) enthalten Zahlenkarten zum Ausdrucken und Ausschneiden. Es wird gezeigt, wie vielseitig und anschaulich die Zahlenkarten beim Rechnen im Zahlenraum bis 20 (1. Schuljahr) bzw. 100 (2. Schuljahr) genutzt werden können. Analog lassen sie sich in höheren Zahlenräumen verwenden. Jenseits des Zahlenraums bis 10 machen die Zahlenkarten mengendarstellende Arbeitsmaterialien überflüssig. Damit entfällt der für leistungsschwache Schüler oft schwierige Transfer von den Materialien zum symbolischen Rechnen. Kleines Highlight: Die Subtraktion mit Zehnerübergang lässt sich als erweiterter Zwerg-Riesen-Trick darstellen.

Es werden die Voraussetzungen aufgezeigt, damit das Teilschrittverfahren 'zuerst zum Zehner' erfolgreich erlernt werden kann. Für den für viele Kinder vielleicht schwierigsten Teil, das Ergänzen auf den 2. Operanden, gibt es einen Tipp, mit dem die Buchhaltung des Gesamtverfahrens handlungsorientiert gemanagt wird. Für leistungsschwächere Kinder im 1. Schuljahr gibt es den Vorschlag, die Kinder zählend den Zehnerübergang bewerkstelligen zu lassen, mit einer leichten Anleihe beim Teilschrittverfahren, um effizient zählend zu rechnen. Diese Anleihe bereitet gleichzeitig das später zu erlernende Teilschrittverfahren vor.

Die leistungsstärkeren Schüler kennen bereits aufgrund ihrer außerschulischen Erfahrungen die Zahlen jenseits der 20 und haben deshalb keine Schwierigkeiten, den ZR100 zu erobern. Für die leistungsschwächeren Schüler gilt das nicht. Diese Kinder haben hauptsächlich Schwierigkeiten • die Abfolge der 10er-Zahlen 10, 20, 30, ... vor und rückwärts zügig und sicher zu beherrschen • hauptsächlich als Folge davon elementare Rechenoperationen an den Zehnerübergängen wie 71-2 durchzuführen. Die betroffenen Punkte betreffen die elementaren Rechenfertigkeiten und es ist wichtig, dass die Kinder diese gut beherrschen. Ansonsten werden sie Schwierigkeiten mit den komplexeren Rechenoperationen im ZR100 haben. Nicht selten fallen die Lücken in den Basisfähigkeiten erst dann auf. Für die leistungsschwächeren Kinder ist es hilfreich, sie zunächst nur den ZR39 erobern zu lassen. Dann kommt lediglich die 30 als neue Zehnerzahl hinzu, d.h. die Abfolge 10, 20, 30 vor- und rückwärts bzw. generell das Rechnen mit den Zahlen 10, 20, 30 ist vergleichsweise einfach zu erlernen. Als Folge davon fällt auch das Rechnen an den Zehnergrenzen eher leicht. Die Kinder gewinnen damit Sicherheit und Selbstvertrauen. Wir haben heute nicht wenige Kinder mit unzureichenden außerschulichen Vorkenntnissen. Deshalb ist es nicht abwegig, sich generell im Unterricht zunächst auf den ZR39 zu beschränken. Ein weiterer Grund, den Zahlenraum bis 39 gesondert zu behandeln besteht darin, dass unser Zahlwortsystem bis zur Zahl 39 unystematisch ist. Wenn man das Zahlwortsystem von dreizehn bis neunzehn auf die Zahlen jenseits der 20 übertragen würde, müsste es ‚dreizwanzig‘ heißen und nicht ‚dreiundzwanzig‘. Ab 40 gibt es eine systematische Struktur der Zahlwörter für die Zehnerzahlen: ‚vierzig‘, ‚fünfzig‘, ‚sechzig‘ etc. Die Zehnerzahlwörter ‚zehn‘, ‚zwanzig‘, ‚dreißig‘ hingegen genügen nicht dieser Systematik. Es mag scheinen, dass es Mehraufwand bedeutet, sich zunächst auf den ZR39 zu beschränken. Meines Erachtens ist das aber eine wichtige Investition in die Zukunft. Verglichen mit dem Einschleifen der wichtigen Basisfertigkeiten wie oben aufgelistet kann man besser auf andere Aktivitäten verzichten. Beispielsweise macht die vielfach übliche Beschäftigung mit dem beschrifteten Hunderterfeld mehr Probleme als es löst. Viele Kinder haben Schwierigkeiten mit der Orientierung auf dm Hunderterfeld. Dabei hilft die Orientierung auf dem Hunderterfeld nicht wirklich bei der Sicherstellung der oben aufgelisteten Basisfertigkeiten. Es ist zielführender, gezielt und direkt die Basisfertigkeiten einzuschleifen. Und dabei ist das zweistufige Erobern des ZR100 ein hilfreiches Konzept. Mit dem Arbeitsblattgenerator sollte man zunächst ausgiebig das Rechnen mit den vollen Zehnern einschleifen. Das ist die gut zu beherrschende Grundlage für alle Rechnungen mit Zehnerübergängen. Als nächstes bietet es sich an, einfache Rechnungen an den Zehnerübergängen einzuüben. Bezüglich des ZR100 bietet der Generator auch etwas komplexere Aufgaben, um die elementaren Rechenfertigkeiten im ZR100 auszubauen.

NEU: Die Übungs- und Lösungsdateien gibt es jetzt sowohl in der Variante mit dem Tausender-Punkt als auch mit dem Tausender-Leerraum. Es ist vorteilhaft, die Tausenderstruktur in den Fokus zu nehmen, indem nan zwischen Tausender- und Hunderterstelle einen Leerraum lässt oder einen Tausenderpunkt setzt. Das ist bereits für das leichte Lesen und fehlerarme Schreiben der großen Zahlen von Vorteil. Vor allem aber lässt sich jede Zahl des ZR1.000.000 als Zerlegung einer vollen Tausenderzahl und einer ZR1000-Zahl auffassen. Damit übertragen sich die Kenntnisse des ZR1000 unmittelbar auf den ZR1.000.000, denn die vollen Tausenderzahlen sind ZR1000-Zahlen bezogen auf einen Tausender. Einzuüben ist in jedem Fall das Arbeiten mit den neuen Zahlen an den Tausenderübergängen. Mit den beigefügten Arbeitsblättern lässt sich die Addition und Subtraktion mit vollen Tausenderzahlen einschleifen sowie das Rechnen an den Tausenderübergängen. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben steigert sich allmählich. Die Aufgaben sind im Kopf zu rechnen, denn es geht primär um den Aufbau einer guten Zahlvorstellung dieser Zahlen und nicht um formale Rechenfertigkeiten.

Mit den Aufgaben des Generators, die sich an einem wählbaren Faktor orientieren, lassen sich Wissenslücken gut beheben, weil sich die Aufgaben in kleinem zeitlichen Abstand wiederholen, wenn der Nutzer für mehrere Spalten Aufgaben mit demselben Faktor wählt. Vor allem die wählbar eingestreuten schwierigen Aufgaben 6·7, 6·8, 7·7, 8·7, 8·8 samt Tauschaufgaben werden auf diese Weise stetig wiederholt. Dieses Vorgehen hilft den Kindern mit lückenhaften Einmaleins-Kenntnissen auf zweifache Weise. Zum einen verbessern sich die Einmaleinskenntnisse, aber vielleicht noch wichtiger ist, dass die Kinder erleben, wie sie sich auf diese Weise recht leicht verbessern können. Zusätzlich werden einige Lernhilfen vorgeschlagen. Der Generator berücksichtigt in der Darstellung die angegebene Lernhilfe für die Faktoren 2, 3 und 4. Merkblätter für die Lernhilfen sind beigefügt. Ebenso Übungsaufgaben für die Lernhilfe 'Errechnen des Einer'.

NEU: Nutzung der Probierzahl bei der Division mit Rest; mögliche Verfeinerungen beim Umgang mit der Probierzahl. Nicht selten wird beim praktischen Dividieren die entsprechende Reihe durchgegangen. Das ist bei Aufgaben mit großen Ausgangszahlen wie 56 : 7 sehr aufwendig und für das Automatisieren des Dividierens weniger geeignet. Leistungsschwächere Schüler neigen dazu, beim Reihendurchgehen zu verharren. Ich übe mit den Kindern das Dividieren von vorneherein über die Umkehraufgabe. 56 : 7 entspricht der Frage ‚Wieviel mal 7 ist 56?‘. Das setzt voraus, dass die Kinder die Einmaleinsaufgaben der 7er-Reihe beherrschen im Beispiel 56 : 7. Vorher übe ich das Dividieren nicht ein. Die leistungsstärkeren Kinder können dann die Divisionsaufgabe direkt lösen, weil ihnen sofort die passende Einmaleinsaufgabe einfällt. Leistungsschwächere Kinder fällt die passende Einmaleinsaufgabe nicht ohne weiteres ein, auch wenn sie die Einmaleinsaufgaben der betreffenden Reihe beherrschen. Ich animiere die Kinder deshalb dazu, eine Probierzahl für den unbekannten Faktor in der Malaufgabe zu wählen und zu überprüfen, ob damit die Malaufgabe gelöst ist. Das grundsätzliche Vorgehen verstehen die Kinder gut, aber sie tun sich mit der Wahl der Probierzahl schwer. Das gilt besonders, wenn die Ausgangszahl der Division groß ist. Ich vermittle den Kindern die Wahl einer günstigen Probierzahl, die mit der Lösung übereinstimmt oder zu groß ist. Gerade bei den schwierigen Aufgaben mit großen Ausgangszahlen liefert diese Probierzahl direkt die Lösung.

Oft wird das Einmaleins in Form von Tests wiederholt, die das gesamte Einmaleins abdecken. Das hilft den Schülern, die das Einmaleins gut beherrschen, diese Fertigkeiten nicht zu verlieren. Nicht so günstig ist dieser Ansatz für Schüler, die noch oder wieder größere Lücken in ihren Kenntnissen aufweisen. Es gibt einfach zu viele Einmaleinsaufgaben, um diese Lücken zu schließen, wenn die Wiederholungsaufgaben aus dem gesamten Einmaleins bestehen. Ich nutze deshalb immer mehrere Aufgabenspalten für Aufgaben mit ein- und demselben Faktor. Auf diese Weise lassen sich Wissenslücken gut beheben, weil sich die Aufgaben in kleinem zeitlichen Abstand wiederholen. Eingestreut sind dabei die schwierigen Aufgaben 6·7, 6·8, 7·7, 8·7, 8·8 und deren Tauschaufgaben. Diese werden auf diese Weise stetig wiederholt. Dieses Vorgehen hilft den Kindern mit lückenhaften Einmaleins-Kenntnissen auf zweifache Weise. Zum einen verbessern sich die Einmaleinskenntnisse, aber vielleicht noch wichtiger ist, dass die Kinder erleben, wie sie sich auf diese Weise relativ leicht verbessern können. Sie haben Erfolgserlebnisse, die ihnen verwehrt bleiben, wenn man ihnen bei den Wiederholungen das komplette Einmaleins abverlangt. Die Datei nachhaltiges1x1.pdf enthält entsprechende Übungen. Zusätzlich zeige ich weitere Möglichkeiten auf, die den Kindern weiterhelfen könnnen.

NEU2: Detailverbesserungen NEU1: Der für das nachhaltige Einprägen wichtige 3er- und 2er-Rhythmus wird jetzt explizit und konsequent genutzt. Das Ersterlernen des Einmaleins ist für viele Kinder eine Herausforderung, vor allem für die Kinder, die zu Hause keine entsprechende Unterstützung erfahren beim Auswendiglernen. Die aktuelle Didaktik versucht, das Erlernen des Einmaleins über Ableitungsstrategien von Kernaufgaben zu erleichtern. De facto verfangen diese Strategien nicht. Zum einen ist es für Schüler des 2. Schuljahrs nicht trivial, bei einer Aufgabe wie 8 · 7 auf die Ableitung 10 · 7 - 2 · 7 zu kommen, zum anderen sind die Rechenfertigkeiten beim Addieren und Subtrahieren zweistelliger Zahlen oft noch nicht so ausgeprägt, dass die Kinder diese Strategien zum Auswendiglernen nutzen können. Der wohl meistgenutzte Weg zum Auswendiglernen führt über die Einmaleins-Reihen. Das ist sehr aufwändig und führt nicht unmittelbar zum Beherrschen der Einmaleins-Aufgaben. Nicht wenige Kinder ohne entsprechende Unterstützung beim Lernen gehen deshalb zum Lösen einer Aufgabe wie 8 · 7 8 Schritte der 7er-Reihe durch. Ich habe einen Weg gefunden, wie man das Auswendiglernen minimieren kann. Dabei nutze ich Eselsbrücken und insbesondere den für das nachhaltige Einprägen wichtigen 3er- und 2er-Rhythmus.