Moin!

Ich habe gerade ein Problem mit einer Analysis-Aufgabe. Vielleicht kann mir jemand von Euch erklären, wo mein Denkfehler ist oder ob die Musterlösung falsch ist.

Der genaue Sachkontext ist irrelevant; es geht um die Verkaufszahlen eines Produkts nach dessen Markteinführung.
In einer Teilaufgabe ist nun die "momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat" als Funktion gegeben. Gesucht ist die Anzahl der im ersten Jahr insgesamt verkauften Stück.

In der Musterlösung wird das Integral über die Änderungsrate in den Grenzen von 1 bis 12 berechnet und das als die Anzahl der im ersten Jahr insgesamt verkauften Stück angegeben.  
Ich bin dagegen der Meinung, dass man mit dem Integral über die Änderungsrate den Absatz im jeweiligen Monat herausbekommt; das Integral über diese Absatzfunktion wäre dann die gesuchte Gesamtzahl.  

_{Um es mir leichter vorstellen zu können, habe ich hier mal ein seeehr einfaches Beispiel erstellt:}

_{Wenn im ersten Monat ein Stück verkauft wird, im zweiten zwei, im dritten drei usw., könnte man eine "Absatzfunktion" a(x) = x aufstellen. Innerhalb von 12 Monaten würden a(1) + a(2) + ... + a(12) = 1+2+ ... +12 = 78 Stück verkauft.
Die Ableitung von a(x) oder "momentane Änderungsrate" a'(x) = 1 gibt dabei an, wie viele Stück jeden Monat MEHR verkauft werden (nämlich von Monat zu Monat immer eins mehr).
Wenn ich nun wissen will, wie viele in einem Jahr verkauft wurden, muss ich a integrieren (oder aufsummieren), nicht die Änderungsrate a'. Das Integral über a' ergäbe 12 (Stück), was ganz offensichtlich NICHT die Gesamtzahl der in einem Jahr verkauften Stück ist.}

Über Hilfe wäre ich sehr froh! 

Sollen wir dir hier nur bekräftigen, dass die vorhandene Musterlösung prinzipiell richtig ist?

Oder benötigst du eine Erklärung, wie Integralrechnung funktioniert?

Oder benötigst du einfach ein leicht nachvollziehbares Kriterium, was dich akzeptieren lässt, dass die vorhandene Lösung stimmen kann?

Deine im Beispiel illustrierte Überlegung ist falsch, wie sich schon an den Einheiten zeigt: a(x) ist in der Einheit Stück pro Monat und x ist in der Einheit Monat, weswegen a'(x) nicht ebenfalls in der Einheit Stück pro Monat sein kann!
Wenn man Stück pro Monat über der Zeit (z.B. über 12 Monate) intergriert, dann kommt eine Anzahl (Stücke) heraus.

Hallo wabami,

danke für Deine Bereitschaft, mir zu helfen! Tatsächlich benötige ich ein leicht nachvollziehbares Kriterium, was mich akzeptieren lässt, dass die vorhandene Lösung stimmt - das hast Du treffend ausgedrückt.   
Damit Du einschätzen kannst, auf welchem Niveau Du argumentieren darfst: Ich habe Physik studiert und unterrichte seit etwa 15 Jahren auch in der gymnasialen Oberstufe Mathe. Was ein Integral ist und was eine Änderungsrate, weiß ich also einigermaßen.  

Mit Wirtschaft dagegen kenne ich mich nicht besonders aus. Wenn ich im Alltag etwas wie "der Absatz im Monat April betrug 10 Stück" höre, denke ich, dass im April 10 Stück verkauft wurden. Liege ich da richtig? 

_{Die Einheit wäre dann genaugenommen Stück pro Monat, auch wenn sich das "pro Monat" in der Formulierung "im April" versteckt. Oder?}  

Um es anschaulicher zu machen, wähle ich gern ein gaaanz einfaches Beispiel. Sagen wir mal, im betrachteten Jahr war der monatliche Absatz konstant 10, d.h. es wurden jeden Monat 10 Stück verkauft. Dann könnte man eine sehr langweilige Absatzfunktion aufstellen: f(x) = 10
Oder verstehe ich da etwas falsch? Nennt man diese 10 Stück im Monat nicht den Absatz?

Um nun die Anzahl der im ganzen Jahr verkauften Produkte zu berechnen, müsste man über f(x) integrieren oder in diesem Beispiel einfach 10 [Stück pro Monat] mal 12 [Monate] rechnen.

Wenn einen dagegen die Schwankungen der Verkaufszahlen im Lauf der Zeit interessieren, würde man vielleicht die Änderungsrate der Absatzfunktion heranziehen, also die Ableitung f'(x). In meinem Beispiel ist f'(x) = 0, da ich den monatlichen Absatz ja als konstant angenommen habe.
Oder denke ich da falsch?
_{Die Maßeinheit dieser   Änderungsrate wäre genaugenommen Stück pro Quadratmonat, aber wenn man etwas ungenauer formuliert, könnte man auch von einer (monatlichen) Änderungsrate in Stück pro Monat sprechen. In der Aufgabe, die mir solche Schwierigkeiten macht, ist noch in mindestens einer anderen Teilaufgabe eine zu ungenaue Formulierung drin, deshalb würde ich die Einheit sozusagen auch nicht auf die Goldwaage legen.} 

Ich belasse es erstmal bei diesen Gedanken. Wenn Du - oder jemand anders - mir meinen Denkfehler zeigen kann, freue ich mich!

Liebe Julia17,

du hast die Überlegungen soweit richtig angestellt und mit den Einheiten dein Kriterium zur Beurteilung der Lösung bzw. des Lösungswegs.

Das Problem liegt in deinem zitierten Genitiv: "momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat" - für uns ist nicht zu beurteilen, ob du hier selber ungenau simplifiziert hast oder ob der Aufgabensteller einen Sachverhalt überbetont hat.

Jedenfalls ist die Einheit des Absatzes "Stück pro Monat". Und der Absatz ist eine Änderungsrate des (Lager-)Bestands.

Deine Aussage: "Jedenfalls ist die Einheit des Absatzes "Stück pro Monat". Und der Absatz ist eine Änderungsrate des (Lager-)Bestands." hilft mir sehr. Auch dass Du meine Überlegungen als richtig einschätzt, beruhigt mich ungemein.   Danke!

Die "momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat" ist tatsächlich ein Zitat aus der Aufgabenstellung.
_{Auch "die Anzahl der im ersten Jahr nach Produkteinführung insgesamt verkauften [Stück]" ist exakt so in der Aufgabe zu lesen; statt "Stück" steht dort halt die Produktart. Aber es ist ja für das Verständnis belanglos, ob es sich um Stühle oder eine neue Kekssorte handelt.}  

Du würdest also auch - wie ich - sagen, dass der Absatz die Einheit Stück pro Monat hat.
Demzufolge wäre es denkbar, dass der Aufgabensteller vielleicht "die momentane Änderungsrate des Absatzes, der in Stück pro Monat angegeben wird", meinte? Oder er (bzw. sie, wer weiß) hat eben ungenau formuliert oder selber nicht klar gedacht oder mit "Stück pro Quadratmonat" nichts anfangen können. Wer weiß.  

Außerdem sagst Du, der Absatz ist eine Änderungsrate des (Lager-)Bestands - das erscheint mir einleuchtend und völlig klar. 
Leider geht es in der Aufgabe nicht um den Lagerbestand oder dessen Änderungsrate, sondern ganz eindeutig um die Änderungsrate des Absatzes, die in der Aufgabe als Funktion g(x) gegeben wird.

Wenn ich diese Funktion g(x) integriere, erhalte ich eine Stammfunktion G(x), die die monatlichen Verkaufszahlen bzw. den Absatz in Stück pro Monat beschreibt, richtig? 
Ich könnte also mit G(1) den Absatz im ersten Monat berechnen, mit G(2) den im zweiten usw.
Um die Anzahl der im ersten Jahr nach Produkteinführung insgesamt verkauften Stück zu erhalten, müsste ich diese Werte aufsummieren bzw. das Integral über G in den Grenzen von 1 bis 12 berechnen.

..dazu.

ja, 1.) wäre es schon etwas besser,den genauen wortlaut zu kennen.

nun, 2.) ist die musterlösung für die

Teilaufgabe ist nun die "momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat" als Funktion gegeben. Gesucht ist die Anzahl der im ersten Jahr insgesamt verkauften Stück.

In der Musterlösung wird das Integral über die Änderungsrate in den Grenzen von 1 bis 12 berechnet und das als die Anzahl der im ersten Jahr insgesamt verkauften Stück angegeben.

nett,aber nicht richtig. ich muss schon annehmen,damit ich übers integral weiterrechnen kann, dass die momentane änderungsrate  für das ganze jahr gilt, damit ich von monat 1 bis 12 das bestimmte integral bilden darf und dann berechne.

sei nicht sauer,wenn manche mathe-textaufgabe leicht schief formuliert ist. mir ist das im nachhilfe-unterrich schon oft passiert,dass die aufgaben in den mathebüchern so luschig schwach formuliert sind. eimal habe ich eins -für gymnasium- sogar vor verzweiflung über die fehler in die ecke geworfen.

... habe ich ja zitiert, soweit er wesentlich für das Verständnis der Aufgabe bzw. meines Problems damit ist.

Die momentane (oder gegebenenfalls lokale) Änderungsrate bezeichnet bei uns in Niedersachsen die Ableitung(sfunktion) einer Funktion und entspricht dem Differentialquotienten - im Gegensatz zur mittleren Änderungsrate, die dem Differenzenquotienten (also dem altbekannten Steigungsdreieck) entspricht.

In der Aufgabe, die mir solche Schwierigkeiten bereitet, ist diese gegebene momentane Änderungsrate eine zusammengesetzte Funktion, die aber selbstverständlich für das ganze Jahr gilt, d.h. auf dem betrachteten Intervall differenzierbar, knick- und sprungfrei usw. ist. Darin liegt kein Problem.

Ich denke, die Formulierung "momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat" in der Aufgabe ist missverständlich bzw. falsch.
Entweder steht die gegebene Funktion für den (monatlichen) Absatz in Stück pro Monat - dann wäre die Einheit korrekt angegeben, aber die Bezeichnung der Funktion nicht.
Oder es geht um die Änderungsrate des (monatlichen) Absatzes - dann wäre die Einheit falsch angegeben.
Oder mit Absatz ist der Gesamtabsatz des Produkts bis zum jeweiligen Zeitpunkt gemeint; das ist nicht unbedingt das, was man landläufig assoziiert, wenn man "Absatz" hört. Aber mit dieser Interpretation passen die Bezeichnung (als Änderungsrate) und die Einheit (Stück pro Monat) wenigstens zusammen.

Es ist also (wieder mal) mehr ein sprachliches Problem als ein mathematisches, das diese Aufgabe schwierig macht.