Weiß ja nicht, wie es woanders ist, aber bei uns ist für Zahlungen aller Art (Beihilfe, Gehalt, Kindergeld) das Landesamt für zentrale Dienste zuständig, egal, in welchem Bezirk man ist.
Aber ich würde auch bei der bisher zuständigen Stelle anrufen. Die wissen dann schon, wie es weitergeht.