Folgende beiden Aufgaben:
Man hat die Ziffern 2/3/4/5/6/7
Daraus soll man eine Multiplikationsaufgabe bilden, bei dem beide Faktoren dreistellig sind und die Ziffern jeweils nur einmal vorkommen.

Auf diese Lösungen bin ich zumindest durch Ausprobieren gekommen:

1. Aufgabe: das Ergebnis soll möglichst klein sein.
Lösung: 246 x 357 = 87822

(1. Kriterium zur Lösung der Aufgabe: die Hunderter möglichst klein, die Einer möglichst groß. )

2. Aufgabe: das Ergebnis soll möglichst groß sein.
Lösung: 742 x 653 = 484526

(1. Kriterium zur Lösung der Aufgabe: die Hunderter möglichst groß, die Einer möglichst klein.)

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Was bei beiden Aufgaben verblüfft:
Auch wenn ich die Regeln mit den Hundertern, Zehnern, Einern beachte, kommen je nach Anordnung der Ziffern unterschiedliche Ergebnisse heraus.
Was weiter verblüfft, ist bei der 2. Aufgabe, dass nicht 753 x 642 das größte Produkt ergibt. Hier wäre das Ergebnis 483426.

Weiß jemand den wissenschaftlichen mathematischen Hintergrund dazu:
1) Warum ist die Anordnung der Zahlen nicht beliebig, wenn die Regel oben (Hunderter, Zehner, Einer) eingehalten wird?
2) Warum kommt bei Aufgabe 2 bei dieser Anordnung das größte Ergebnis heraus und bei Aufgabe 1 bei der Anordnung das kleinste?

Ich hoffe, ich habe das Problem deutlich beschrieben. Da bin ich einmal gespannt auf die Erklärungen.

(100*H1+10*Z1+E1)*(100*H2+10*Z2+E2)=
10000*H1*H2
+1000*(H1*Z2+H2*Z1)
+100*(H1*E2+H2*E1+Z1*Z2)
+10*(Z1*E2+Z2*E1)
+E1*E2

Um beispielsweise das Produkt zu maximieren, muss man
vorrangig H1 und H2 möglichst groß wählen und nachgelagert
H1*Z2+H2*Z1.
Das führt zu den entsprechenden Werten.

Bei der Addition ist es egal, denn die H, Z, E werden miteinander addiert.

Bei der Multiplikation werden ja nicht nur die H*H und Z*Z multipliziert, sondern immer H*HZE und Z*HZE, sodass
die verschiedenen Aufgaben bedeuten, dass

40 x 653 (26120) oder 50 x 643 (32150)

und 700 x 653 (457100) oder 700 x 643 (450100)

etc. ... es gibt ja noch mehr Möglichkeiten.

Mit SuS würde ich womöglich die Teilergebnisse der Aufgaben miteinander vergleichen lassen und dann bei den Ergebnissen im Vergleich der Aufgaben jeweils das höhere Ergebnis farbig markieren.


Palim

@halb27: Warum nimmst du ausgerechnet diese Zahlenkombinationen, wenn du die Gleichung auflöst und keine andere? Man könnte ja auch andere Hunderter mit anderen Zehnern und Einern kombinieren.

@palim: eine Aufschlüsselung zeigt zumindest durch Experimentieren, dass unterschiedliche Teilergebnisse herauskommen. Es erklärt halbwegs, dass die Zahlen nicht austauschbar sind, aber erklärt aber nicht, warum ausgerechnet nur eine bestimmte Zahlenkombination richtig ist.

Mich interessiert der fachwissenschaftliche Hintergrund, warum nur eine einzige Zahlenkombination pro Aufgabe (und die Lösung bei der zweiten Aufgabe scheint vom Zahlenblick her unlogisch) möglich ist. Das 1. Kriterium zur Lösung, auf das ich achte (s.o.) ist klar, aber was ist es noch, was ich beachten muss?

mit ihren Stellengewichten ausmultipliziert und nach
resultierendem Stellengewicht absteigend sortiert, ergibt
sich obige Darstellung.

Höchstes Gewicht 10000 bekommt das Produkt H1*H2.
Nächsthöchstes Gewicht 1000 erhält die Produktsumme
H1*Z2+H2*Z1.

Im Fall 742*653 ist H1*Z2+H2*Z1=35+24=59.
Im Fall 753*642 ist H1*Z2+H2*Z1=28+30=58.

Als Strategie für ein maximales Produkt kann man mit der
oben angegebenen Darstellung für das Produkt erkennen:

a) wähle die größten beiden der vorgegebenen Ziffern als
Hunderter der beiden Faktoren. Auf diese Weise wird die
gewichtigste Komponente 10000*H1*H2 des Produkts maximiert.
Wähle die größere dieser beiden Ziffern als H1, d.h. den
Hunderter des 1. Faktors. Dies ist wesentlich für die
Beschreibung der Strategiedetails b) und c).

b) wähle die 3.- und 4.-größten der vorgegebenen Ziffern
als Zehner der beiden Faktoren. Wähle die größere dieser
beiden Ziffern als Z2, d.h. den Zehner des 2. Faktors.
Auf diese Weise wird die zweitwichtigste Komponente
1000*(H1*Z2+H2*Z1) des Produkts maximiert.

c) wähle die verbleibenden der vorgegebenen Ziffern
als Einer der beiden Faktoren. Wähle die größere dieser
beiden Ziffern als E2, d.h. den Einer des 2. Faktors.
Auf diese Weise wird die drittwichtigste Komponente
100*(H1*E2+H2*E1+Z1*Z2) maximiert.

braucht man für die Schüler dann das Aumultiplizieren von Termen (8. Klasse Realschule Bayern), um das Ganze genau zu erklären.
Für eine 4. Klasse viel zu abgehoben.
Oder soll da irgendeine Kompetenz abgeprüft werden?

rfalio

den man Grundschülern schuldig bleiben muss.

Grundschüler müssen das dann durch Ausprobieren lösen. Das 1. Kriterium können sie ja durch Nachdenken erfüllen, denn da ist das Zahlengefühl gefragt. Das ist schon schwer genug. Wer als Grundschüler schon das erste Kriterium erkennt, der ist wirklich gut.