Hatte meine Gleichungen auch so wie du aufgestellt, ehe ich Deinen Betrag gesehen hab...

Noch eine Frage: Soll das Ergebnis, zu dem der Rest gehört, bei jeder Gleichung dasselbe sein oder gibt es drei verschiedene Ergebnisse?
Das sähe dann so aus:

x:35=a+25
x:45=b+35
x:55=c+45

Das wären dann drei Gleichungen mit vier Unbekannten? Wird da irgendwo eine Variable eliminiert? Normalerweise wäre das doch nicht lösbar...

Meine Vermutung: Es fehlt uns eine Information.

Gruß,
Calathea

@elefant1:
in welcher klassenstufe wurde die aufgabe denn gestellt? das CRT (chinese remainder theorem) wird soweit ich weiß in der schule nicht behandelt. modulo-rechnen bestenfalls mal in informatik, in mathe auch eher nicht. wenn die aufgabe für eine mittelstufe war, dann wird wohl erwartet die entsprechenden reihen aufzustellen:
(1) n * 35 + 25 für alle N>0
(2) ...
(3) ...
und nach dem kleinsten gemeinsamen element in allen drei reihen zu suchen. handarbeit und viel gerechne, wenn man böse ist könnte man sagen: beschäftigungstherapie ,-)

@silberfleck:
du hast recht, statt dem = müsste es ein kongruenzzeichen sein (ein = mit 3 strichen).
allerdings steht bei mir auch
x % 35 = 25
% bedeutet hier die modulo divison, d.h. eben den rest der division. genauer wäre die schreibweise:
x = 25 (mod 35), d.h. die Restklasse 25 modulo 35 sprich, alle x = n * 35 + 25, mit n \elem N.

@calathea:
deine Gleichungen stimmen so auch, es gibt unendlich viele Lösungen (siehe meinen Beitrag weiter oben), gesucht ist die kleinste, damit ist die Aufgabe eindeutig lösbar.

P.S.
kann sich nicht mal ein Mathelehrer erbarmen, und das besser erklären als ich ?
Ansonsten einfach den wikipedia link lesen, da gibts auch ein leicht nachzuvollziehndes Beispiel zur Lösung simultaner Kongruenzen.

trotzdem noch einmal fragen, wie das nun geht??

miro

siehe meinen beitrag weiter oben. wie was geht?
Anwendung des CRT ?
Beweis ?
oder einfach nur das Applet ?

Das Problem ist ja folgendes...

Wir suchen die kleinste natürliche Zahl n, so dass gilt
n/35 hat den Rest 25
n/45 hat den Rest 35
n/55 hat den Rest 45

Mit dem Chinesischen Restklassensatz kann man das Problem recht einfach lösen. Der Wiki-Link dazu findet sich in diesem Thread mehrmals. - Einfach nachlesen!

Eine andere "mathematische" Lösung dieses Problems fällt mir gerade auch nicht ein; es geht nur mit Rechenarbeit (am besten mit TR).
Am günstigsten ist es hier vermutlich, wenn man sich eine Reihe von Zahlen aufschreibt, für die die letzte Bedingung gilt (d.h. sie lassen beim Teilen durch 55 den Rest 45). Das wären zum Beispiel 100=1*55+45 oder 165=2*55+45.
Dann prüft man für diese Zahlen die anderen Bedingungen nach.
Evtl. kann man das leichter machen, wenn man von allen drei Reihen einfach die ersten Zahlen aufschreibt. Rein theoretisch kann man auch bei allen drei Bedingungen, die Zahlenreihen aufstellen und die kleinste gemeinsame Zahl raussuchen... Vielleicht entdeckt man ja was, wenn man sich die Zahlen genauer ansieht - aber dazu bin ich jetzt zu müde... *g*

theia

endlich ein(e) mathematiker(in) da, und dann auch noch mit kryptologischem verständnis.

mfg

rwx

P.S. Kennst du das Cryptonomicon von Neal Stephenson ? Sehr schönes Buch, mit eigenem Kryptosystem "Solitaire" entwickelt von Bruce Schneier.

Wem die Rechnung über den Chinesischen Restklassensatz zu schwer verständlich findet, kann diese und ähnliche Aufgaben leicht auf einem anderen Weg lösen:

Das es unendlich viele Zahlen gibt die obige Restebedingung erfüllen ist klar - sie haben alle der Größe nach aufgereiht den Abstand des kleinsten gemeinsamen Vielfachen des Teilers, hier: kgV(35,45,55) also 5*7*9*11=3465.

Jetzt muss man nur noch eine beliebige Zahl finden, die die Restbedingung erfüllt und schon kann man die kleinste natürliche Zahl angeben.

Da für alle Reste gilt, dass sie um 10 kleiner sind als der Teiler ist also -10 eine Zahl, die die Restebedingungen erfüllt, also ist 3455 die kleinste natürliche Zahl die gesucht war.

Magst du mich eigentlich verscheißern, oder wollest du deine Anerkennung ausdrücken?

Das Crytponomicon hab ich im Übrigen schon gelesen. Ich brauchte ja auch ein bisschen "normalen" d.h. roman-mäßigen Lesestoff abseits von Beutelspacher, Singh (es lebe die populärwissenschaftliche Darstellung!), Kahn und Co.)! Und ein bisschen Zahlentheorie ist halt auch noch hängen geblieben. (Aber nicht genug, dass ich spät abends mit absoluter Sicherheit modulo-Aufgaben rechnen könnte! *grinsel*)

theia

Magst du mich eigentlich verscheißern, oder wollest du deine Anerkennung ausdrücken?

Anerkennung ausdrücken, ich freu mich über jeden der Spaß an Kryptologie hat.

Das wollte ich doch auch gehofft haben...
Dann habe ich in dir also einen Krypto-Fan gefunden?

Ich mag das Thema halt supergerne, weil man schon mit geringem Einsatz mathematischer Fähigkeiten recht ordentliche Kryptosysteme erzeugen kann. Und die ganz einfachen Dinge lassen sich halt auch mal in der Schule anwenden, gerade vor den Ferien, wenn man noch etwas Zeit für relative Häufigkeiten oder ähnliches hat. Und die SuS knobeln einfach gerne!

*greetz*
theia

PS: btw habe ich den Eindruck, dass ich heute in allen Foren /offtopic/ poste. Aber was soll's?! - Bis denne!