Genau, eine Pflicht zur privaten Krankenversicherung gibt es nicht, es sei denn, der Jahresverdienst überschreitet einen gewissen Betrag. Wenn ich mich richtig entsinne, erhält man einen entsprechenden Fragebogen bei der gesetzlich KK, in dem steht, wann das Kind privat versichert werden müsste bzw. kann man ja auch direkt nachfragen. Achtung - wenn ich richtig informiert bin, gibt es bei einer privaten Krankenversicherung keine Kindkranktage! Im Zweifel nochmal nachfragen, wie sich das verhält. Sollte es aber stimmen, würde ich nicht privat versichern, sofern man nicht muss. So haben beide Elternteile ihre 10 Krankheitstage bzw. 7 Tage bei Leute in öffentlichen Dienst teilweise.
By the way - bei Nachwuchs sollte man sich auch unbedingt wegen anderer Versicherungen Gedanken machen. Etwa über eine Risikolebensversicherung zum Schutze der Familie vor finanz. Schäden im Falle des eigenen Ablebens: https://www.cosmosdirekt.de/risikolebensversicherung/
Vor allem wenn ein Elternteil höher verdienend ist, und dessen Wegfall ein tiefes Loch in die Haushaltskasse reißen würde wegen Kreditbelastungen etc., ist es wichtig, dass es eine Absicherung gibt. Ebenso zentral sind Berufsunfähigkeitsversicherung und eine Renten-/Lebensversicherung in irgendeiner Form für das Kind.
VG,
bjarni14