Eine häufig gestellt Extremwertaufgabe: Gesucht ist ein Zylinder mit minimaler Oberfläche und einem vorgegebenen Volumen (z.B. 1 Liter). Da Schülerinnen und Schülern oft die Vorstellung davon fehlt, wie Zylinder aussehen, deren Oberflächen unterschiedlich sind und deren Volumen aber gleich ist, sind hier einige solcher Körper abgebildet. Die Bauanleitung befindet sich in der Rubrik "Arbeitsmaterialien".
Eine häufig gestellte Extremwertaufgabe: Aus einem Bogen Pappe werden an allen Ecken gleich große Quadrate ausgeschnitten und die überstehenden Teile zu einer Schachtel hochgebogen. Gesucht ist die Schachtel mit dem größten Volumen.
Das Foto vermittelt Schülerinnen und Schülern einen guten Eindruck davon, wie solche Schachteln aussehen können.
Dieses Bild veranschaulicht folgende Extremwertaufgabe: Die Querschnittsfläche (Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis) eines unterirdischen Kanals soll bei gegebenem Querschnittsumfang - d.h. also bei gegebener Anzahl der benötigten Steine - maximiert werden.
Die Streifen im oberen Koordinatensystem kann man als Fläche unterhalb einer Kurve auffassen. Die untere Kurve gibt z.B. bei 3 an, wieviel Fläche sich zwischen 1 und 3 im oberen Bild befindet; bei 4 gibt sie an, wieviel Fläche sich zwischen 1 und 4 im oberen Bild befindet. Sie steigt stark an, wenn oben ein großer "Funktionswert" - z.B. GELB - hinzukommt. Sie steigt nicht so stark, wenn oben ein kleiner "Funktionswert" hinzukommt - z.B. GRÜN.
Damit ist die Steigung der Flächeninhaltsfunktion - also die Ableitung - gleich der Ausgangsfunktion. Und das ist die zentrale Aussage des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
Das grüne Kurvenlineal steht für einen Funktionsgraphen. Man kann es beliebig verbiegen, so dass verschiedene Steigungen unmittelbar begriffen werden können.
Der Stab, der an den verschiebbaren weißen Ringen befestigt ist, zeigt die Steigung zwischen zwei Punkten des Graphen. Mit Hilfe der rot-gelben Meßlatte kann diese direkt als Zahl abgelesen werden.
Schiebt man einen weißen Ring zu dem anderen, verändert sich auch die Steigung. Wenn beide Ringe übereinander liegen, hat man den Grenzwert, also den Differentialquotienten (die Ableitung) erreicht.
Mehr von mathewerkstatt: 
